Matemática básica Ejemplos

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ como $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ como $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $n$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Paso 4.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Resta $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Paso 4.3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ por $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Paso 4.4

Reescribe $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Paso 4.5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Paso 4.6

Simplifica $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Paso 4.6.1.2

Multiplica $2 (1 + 4^{n})$ por $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Paso 4.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Paso 4.6.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Paso 4.6.4

Multiplica $2 \cdot 4^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Paso 4.6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Paso 4.6.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Paso 4.7

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Resta $2^{1 + 2 n}$ de ambos lados de la ecuación.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.1

Expande $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.1

Multiplica $2^{n}$ por $2^{n}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.1.2

Suma $n$ y $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.2

Multiplica $2^{n}$ por $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.3

Multiplica $2^{- n}$ por $2^{n}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.3.2

Suma $- n$ y $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.4

Simplifica $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.5

Multiplica $2^{- n}$ por $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.8

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Paso 4.8.2

Resta $1$ de $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Paso 4.9

Reescribe $2^{1 + 2 n}$ como $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Paso 4.10

Reescribe $2^{2 n}$ como exponenciación.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Paso 4.11

Reescribe $2^{- n}$ como exponenciación.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Paso 4.12

Reescribe $2^{2 n}$ como exponenciación.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Paso 4.13

Elimina los paréntesis.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Paso 4.14

Sustituye $u$ por $2^{n}$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Paso 4.15

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.15.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Paso 4.15.2

Evalúa el exponente.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Paso 4.15.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Paso 4.16

Resta $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Paso 4.17

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 1, u, 1$

Paso 4.17.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.17.2

Multiplica cada término en $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ por $u$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.1

Multiplica cada término en $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ por $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.1

Multiplica $u^{2}$ por $u$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.3

Cancela el factor común de $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Paso 4.17.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.3.1

Multiplica $u$ por $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Paso 4.17.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.1

Resta $u$ de ambos lados de la ecuación.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Paso 4.17.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.2.1

Reordena los términos.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Paso 4.17.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Paso 4.17.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Paso 4.17.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Paso 4.17.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Paso 4.17.3.4

Establece $- u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.1

Establece $- u + 1$ igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

Paso 4.17.3.4.2

Resuelve $- u + 1 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- u = - 1$

Paso 4.17.3.4.2.2

Divide cada término en $- u = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.2.1

Divide cada término en $- u = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.17.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.17.3.4.2.2.2.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.17.3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$u = 1$

Paso 4.17.3.5

Establece $u^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.5.1

Establece $u^{2} + 1$ igual a $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Paso 4.17.3.5.2

Resuelve $u^{2} + 1 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} = - 1$

Paso 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4.17.3.5.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \pm i$

Paso 4.17.3.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = i$

Paso 4.17.3.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - i$

Paso 4.17.3.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = i, - i$

Paso 4.17.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$u = 1, i, - i$

Paso 4.18

Sustituye $1$ por $u$ en $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Paso 4.19

Resuelve $1 = 2^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.1

Reescribe la ecuación como $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Paso 4.19.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Paso 4.19.3

Expande $\ln (2^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4.19.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Paso 4.19.5

Divide cada término en $n \ln (2) = 0$ por $\ln (2)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.1

Divide cada término en $n \ln (2) = 0$ por $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.19.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.19.5.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.19.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (2)$ .

$n = 0$

Paso 4.20

Sustituye $i$ por $u$ en $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Paso 4.21

Resuelve $i = 2^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.1

Reescribe la ecuación como $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Paso 4.21.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Paso 4.21.3

Expande $\ln (2^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Paso 4.21.4

Divide cada término en $n \ln (2) = \ln (i)$ por $\ln (2)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.4.1

Divide cada término en $n \ln (2) = \ln (i)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Paso 4.21.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Paso 4.21.4.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Paso 4.22

Sustituye $- i$ por $u$ en $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Paso 4.23

Resuelve $- i = 2^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.23.1

Reescribe la ecuación como $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Paso 4.23.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Paso 4.23.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- i)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.23.4

No hay soluciones para $2^{n} = - i$

No hay solución

Paso 4.24

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$